Ensiklopedi

Newton dan Seri Tak Terbatas -

Kalkulus Isaac Newton sebenarnya dimulai pada tahun 1665 dengan penemuannya tentang deret binomial umum (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2!x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3!x 3 + ⋯ untuk nilai rasional sembarang dari n . Dengan rumus ini ia dapat menemukan deret tak hingga untuk banyak fungsi aljabar (fungsi y dari x yang memenuhi persamaan polinomial p ( x , y) = 0). Misalnya, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ dan 1 / Akar pangkat dua dari √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6x 6 + ⋯.

Pemandangan Galaksi Andromeda (Messier 31, M31). Kuis Astronomi dan Luar Angkasa Disebut apakah bagian Matahari yang terlihat?

Selanjutnya, ini membawa Newton ke deret tak hingga untuk integral fungsi aljabar. Sebagai contoh, ia memperoleh logaritma dengan mengintegrasikan kekuatan dari x dalam seri untuk (1 + x ) -1 satu per satu, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, dan seri terbalik sinus dengan mengintegrasikan seri untuk 1 root / Square of √ (1 - x 2), dosa-1 ( x ) = x + 1/ 2x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6x 7/ 7 + ⋯.

Akhirnya, Newton memahkotai kinerja virtuoso ini dengan menghitung deret terbalik untuk x sebagai deret dalam pangkat y = log ( x ) dan y = sin − 1 ( x ), masing-masing, mencari deret eksponensial x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ dan sinus seri x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.

Perhatikan bahwa satu-satunya diferensiasi dan integrasi yang dibutuhkan Newton adalah untuk pangkat x , dan pekerjaan nyata melibatkan perhitungan aljabar dengan deret tak hingga. Memang, Newton melihat kalkulus sebagai analogi aljabar aritmatika dengan desimal tak terhingga, dan ia menulis dalam bukunya Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Risalah tentang Metode Deret dan Fluks"):

Saya kagum bahwa tidak terpikir oleh siapa pun (jika Anda kecuali N. Mercator dan kuadratnya hiperbola) untuk menyesuaikan doktrin yang baru-baru ini ditetapkan untuk bilangan desimal ke variabel, terutama karena cara tersebut kemudian terbuka untuk konsekuensi yang lebih mencolok. Karena doktrin dalam spesies ini memiliki hubungan yang sama dengan Aljabar sehingga doktrin bilangan desimal memiliki Aritmatika yang sama, operasi Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian dan ekstraksi Akar dapat dengan mudah dipelajari dari yang terakhir.

Bagi Newton, perhitungan seperti itu adalah lambang kalkulus. Mereka dapat ditemukan dalam De Methodis dan manuskrip De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; “On Analysis by Equations with an Infinite Number of Terms”), yang dia tulis setelah deretan logaritmiknya ditemukan kembali dan diterbitkan oleh Nicolaus Mercator. Newton tidak pernah menyelesaikan De Methodis , dan meskipun antusiasme dari sedikit orang yang dia izinkan untuk membaca De Analysi , dia menahannya dari publikasi sampai tahun 1711. Ini, tentu saja, hanya menyakitinya dalam perselisihan prioritasnya dengan Gottfried Wilhelm Leibniz.